Задания школьной олимпиады «Математика» 7-8 класс
1. Мейке плавала вокруг поплавков, как на картинке. Какие буи Мейке миновал, плывя по часовой стрелке?
6. Черно-белый червяк, изображенный на картинке, сжался и заснул. Как это может выглядеть?
9. Сколько натуральных чисел от 100 до 300 содержат только нечетные цифры?
16. Вернер написал на листке бумаги несколько положительных чисел меньше семи. Рия, в свою очередь, вычеркнула все числа Вернера, изменив каждое число на разницу в семь. Сумма чисел Вернера была 22, а сумма чисел Рии — 34. Сколько чисел первоначально написал Вернер на бумаге?
19. Сколькими способами можно закрыть фигуру слева девятью плитками, показанными справа?
- 288
- 337
- 576
- 674
- 2022
Цель: способствовать повышению интереса ученика к предмету, развитию его способностей.
#1 Соревнулись три человека A, B, C. С был последним на старте, а Б – вторым. За время соревнований С шесть раз менялся местами с другими, а А — пять раз. B достиг финиша раньше A. Определите порядок, в котором участники дошли до финиша.
Поскольку B изначально отстает от A и достигает финиша раньше него, число их переходов нечетное. Следовательно, количество переходов A и C четное, то есть бегун C отстает от A.
AC=x, AB=x-1, BC=x+1
Пусть AD=y, SD=x-y. Тогда (x-1)2-y2=(x+1)2-(x-y)2
№2 10 человек отправили друг другу поздравительные открытки. Количество поздравительных открыток, отправленных каждым из них, равно 5. Докажите, что можно найти двух человек, отправивших друг другу поздравительные открытки.
Всего было отправлено 50 поздравительных открыток. То есть есть хотя бы один человек, получивший хотя бы 5 поздравительных открыток. Назовем это х. Разделим оставшиеся 9 человек на две группы. Те, кто отправил поздравительную открытку A-x (минимум 5). Люди, которых поздравил В-х (5 человек). Эти два множества обязательно имеют один общий элемент. Пусть это будет яд. Затем x и y отправили друг другу поздравительные открытки.
#3 Существуют ли 1000000 различных натуральных чисел, сумма которых не является точным квадратом?
№4 9 желтых, 9 синих, 9 белых одинакового размера, всего 27 кубиков. Можно ли сделать так, чтобы три кубика в каждом столбце были двух цветов?
(Всего 27 столбцов, параллельных граням куба)
Можно, например, сделать два слоя кубиков
и сделайте один слой,
может быть предпочтительным.
№5 Решите уравнение
Решение: совмещаем 1-ю скобку и 4-ю скобку, 2-ю скобку и 3-ю скобку и раскрываем скобки. Тогда
Вводим новую переменную: (x2+14x+24)=t
t(t-3х)=4х2, t2-3хt-4х2=0 / делим на х2 и вводим новую переменную
( t/x )2-3(t/x)-4=0 t/x=z
Подставляем D =25 z1=-1 z2=4 z. Тогда t/x=4 t=4x Поставим это полученное число вместо t. Тогда
X2+14x+24=4x D=4 x1=-6 x2=-4
Ответ: (-6;-4)
Доказательство: Если x2+3xu+y2=25k, то (x-y)2+5xu=25k. Тогда число (x-y)2 делится на 5, то есть делится на 25. Там число ху делится на 5. Значит, и разность, и произведение двух чисел делятся на 5. Так как произведение делится на 5, то одно из них делится на 5, а так как разность делится на 5, то их остатки при делении на 5 равны, то есть оба они делятся на 5.
Вчера на детской площадке мальчиков было в 1,5 раза больше, чем девочек. Сегодня количество мальчиков равно квадрату числа девочек, и по сравнению со вчерашним днем количество мальчиков уменьшилось на 6, а количество девочек на 7. Сколько детей было вчера на детской площадке?
Пусть x — мальчик, а y — девочка. Там
х = 1,5 года
Тогда 1,5 y-6=(x-y)2, а когда это выражение сокращается, оно становится 2y2-31y+110=0. Отсюда следует, что y=10, x=15.
Ответ: Вчера на детской площадке было 25 детей.
Решение: 36 = 6 * 6 = (a + b) (
) = 1 + a/b+b/a+1, поэтому a/b+b/a=34.
Решение: Поскольку 70=1, 71=7, 72=49, 73=343, 44=2401, запишите это как 2013=4*503+1
.
Решение: Синий, зелёный и зелёный цвета явления соответственно
Обозначим
буквами к, ж, к. Итак по условиям отчета
1) Если k+y=k, то 7(k+y)=7k, т. е. 7k+7y=7k.
Всего 7к+11к=18к (красных) символов. Остальные зеленые символы — 9y-7y=2y.
2) Если у+к=к, то 9у+9к=9к. Итого 9к+7к=16к 11к-9к=2к. На этот раз за пределами встречи останутся 2 красных монстра.
3) Если k+m=y, то 7k+7m=7y. Все
7 лет + 11 лет = 18 лет. 11 месяцев-7 месяцев=4 месяца. В этом случае будет 4 неудовлетворенных красных объекта. Чтобы все монстры одновременно имели один и тот же цвет, не должно быть лишних, то есть монстров, оставшихся вне собрания. Если да, то цвет всех переменных не превратится в один цвет одновременно.
ответ: Не все существа могут иметь один и тот же цвет одновременно.
Решение: выражение вида k4+64=k4+82 разделим на множители.
(2-4к+8)(2к2+4к+8)==4к4+4к3+8л2-4к3-16к2-32к+8к2+32к+64=4к+64. Следовательно, при любом значении k число k4+64 записывается в виде произведения двух чисел.
Ответ: k4+64, (k — целое число) невозможно найти.
2. Высота AD треугольника A BC в два раза меньше стороны BC.
Может ли угол А быть тупым?
Решение: вершине А и основанию D высоты AD соответствуют прямая, параллельная ЮЗ, проходящая через точку А, и линия, проходящая через точки С и В соответственно. Мы изменим точку А, полагая, что точка D является центром BC как началом координат. Затем угол А изменяется от 0 до 900 и от 900 до 0. Значит, угол А не тупой.
Ответ: Угол А не тупой
3. При каких значениях параметра x+у+z=a+1, xу+xz+уz=2a xyz=a. , система имеет точные решения?
Решение: Рассматривая многочлен (t-x)(t-y)(t-z), приходим к следующему выводу: (t-x)(t-y)(t-z)=t3-(x+y+z)t2+(xy+xz +yz)t -xyz=t3-(a+1)t2+2at-a, то есть действительные числа x, y, z являются корнями многочлена t3-(a+1)t2+2at-a. Это знаменитая теорема Вьетнама. Чтобы этот многочлен имел три вещественных корня, его минимальное и максимальное значения должны иметь разные знаки. Итак, мы берем произведение и устанавливаем его равным нулю. 3t2-2(a+1)t+2a=0, откуда t1,2=a+1±a2-4a+13 дискриминант
D=(a-(2+3))(a-(2-3))≥0 должно быть, из чего следует интервал 2-3≤a≤2+3. Если a, то максимальное и минимальное значения имеют положительный знак, если a2+3, то максимальное и минимальное значения имеют положительный знак. А если параметр а находится в найденном интервале, то максимальное и минимальное значения будут иметь разные знаки или одно из них будет равно нулю. Тогда x, y, z различны или оба действительные числа.
10 класс 1 тур
Решение: поскольку расстояния a,a,2a не могут быть треугольником, то данные четыре точки должны быть вершинами прямоугольного треугольника и центром гипотенузы. Один катет этого треугольника равен половине гипотенузы, а второй катет b. Тогда
Решение: Первое R — это сумма натуральных чисел
S=(R+1)24+(2+R-1)(R-1)4 где R — нечетное число, (R+1)24 — нечетное начальное число, а (2+R -1 )(R-1)4 — сумма простых n четных натуральных чисел. Обозначим R-1=t (четное число).
Решение: Следовательно, по условию задачи
(R+1)24-(2+t)t4=212 R2+2R+1-2t-t2=848 (t-четное число) (R-t)(R+t)+2(R-t)= 847
а) ситуация. 2м-1=63, 2n=56 м=32, n=28
б) случай 2m-1=43, 2n=32 m=22, n=16
б) случай 2m-1=423, 2n=422 m=212, n=211
Ответ: (32;28) , (22;16) , (212;211)
Решение: рассмотрим полиномы (y-1)2013+1 и y3, отмеченные как y=x+1. Тогда
Известно, что
-2013*1006(x+1)2+2013(x+1)=-2013*1006y2-2013y. Используя обратное преобразование
Мы видим, что полином
-2013∙1006(x+1)2+2013(x+1)=-2013∙1006×2-2013∙2011x-2013∙1005 является остатком.
10 класс 2 тур
Докажите, что f(x)=f(1-x)=f(1x) .
Решение: Пусть MC=2MA, NA=2NB ∠NCA=∠CBM= α. Тогда ∠BCN=60°-α.
Тогда ∠BPC=1800-600=1200 ∠NPM+∠NAM=1200+600=1800 . Тогда точки N, P, M, A лежат на одной окружности. Если А К=КН, то КН=КМ=КА. То есть AN — это диаметр круга NPMA. Итак, ∠ APN = 90o, тогда ∠ APC = 90 ̊.
Решение: По условию расчета числа a и b удаляем и заменяем числом a+b+ab
мы замечаем, что a+b+ab=a(b+1)+(b+1)-1=(a+1)(b+1)-1. Это полученное число снова подвергают той же операции с любым числом s, тогда полученное число равно
Ответ: оставшееся число в конце — 100
11 класс 1 тур
2. Необходимо найти все (m,n) пары натуральных чисел, удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел больше суммы первых n четных натуральных чисел на 212.
11 класс 2 тур
Поскольку действительные числа a, b, c даже не равны, c-a≠0
так как a-b≠0, b-c≠0,
Поскольку
(а-б)20, (б-в)20, (в-а)20
Ответ: Действительные числа a, b, c найти невозможно.
2. На сторонах AC и AB равнобедренного треугольника ABC даны точки M и N соответственно так, что MCMA=NANB=2. Пусть точка P — пересечение отрезков ВМ и СН. Затем докажите, что ∠ APC = 90 ̊.
Решение: 10. См. II.2
Решение: 10. См. II.3
5 класс1. Самый большой с остатком и делителем, равным 17 при делении на 13
Найдите целое число
.
Решение:Решение:Решение:Решение:Решение: Пусть число будет x
0,4х + 0,75*0,4х + 210 = х, откуда х = 700 Ответ: 7001
6. Одна из 9 монет фальшивая и она легче остальных. Тарелка
Как определить фальшивую монету по двум измерениям без планки с помощью весов
9. Двое часов начались и закончились одновременно. Первые часы бьют каждые две секунды, вторые — каждые три секунды. Всего было подсчитано 13 ударов (вместе считается за один удар). Сколько времени прошло между первым и последним ударами? Решение: Решение:
11. Трое рабочих варили кашу. Первые 2 стакана хлопьев, вторые 1 стакан
хлопья, а у третьего хлопьев не было. Все съели кашу поровну. Третий рабочий: «Спасибо за вашу кашу, я вам дам 50 тенге, так как же вы сможете отделить кашу, которую я съел, от крупы, которую вы положили?» — сказал.
вся поездка занимает 1 час 30 минут. Если вы поедете на автобусе, это займет 30 минут. Если Серик вернется в школу пешком, сколько времени ему это понадобится?
Во сколько вернется корабль?
18. Как разделить прямоугольник длиной 16 см и шириной 9 см на две равные части и составить из него квадрат?
19. В расчете: 101101*999-101*999999
Решение: 10,25,40.21. Было 9 страниц бумаги, некоторые из которых были разделены на 3 части и 15 страниц бумаги. На сколько страниц вы поделили лист?
6:2=3 (разрез лица)22. Найдите значение выражения:
Айнур, Болат, Асем Асель. Один из них ходит в детский сад, Айнур старше Болата и сумма возрастов Айнур и Асем делится на 3. Сколько лет каждому?
24. Если сумма знаменателя, знаменателя и разности равна 26, найдите знаменатель.
Каждому рыбаку по 1900 гр.
6 класс1. Найдите все трехзначные значения avs, если выполняется следующее равенство:
прочитали 0,3 и 20 страниц во второй день, 0,75 и 30 страниц в третий день. Сколько страниц в книге?
Можно ли найти класс
?
6. На колесе написано натуральное число 2009. Сумма была четным числом
.
докажите, что можно найти два соседних числа.
Решение: Каждый день в гараже остается 0,25*60 = 15 машин. 60 – 15 = 45 машин начинают работать, 54 – 45 = 9 остаются в простое. Бесплатно 30*9=270 человеко-дней в месяц. У каждого водителя есть 270 : 54 = 5 свободных дней. Ответ: 58. Масса ведра с молоком — 32 кг, без молока — 2 кг. Половина ведра
Какова масса
, если она наполнена молоком?
У Айгуль платье и туфли были такие же, а у Гюльнар платье и туфли были не белые, а у Нургуль туфли были зелёные. Определите тип платья и обуви каждой девочки.
Решение: 3232=32*101=2*2*2*2*2*101 кратно 3232,11. Если 13,5% от x равно 12,5% от y, сравните x и y.
13. Сумма натуральных чисел 2008 года — нечетное число. Из этих чисел
Произведения
нечетные или четные?
Сумма чисел от 1 до 12 равна 78. Тогда сумма чисел в вершинах прямоугольника и квадрата равна 26. Возможные ситуации: 12,9,1,4 – вершины квадрата, 11,8,2,5 и 10,7,3,6 – вершины прямоугольника.15. В классе 25 учеников, сумма их возрастов 270 лет.
Сможете ли вы найти в классе 20 учеников, сумма их возрастов равна 260
17. Эрик пошел в магазин, чтобы купить 1 ручку за 1 тенге, 80 монет и 6 карандашей. Продавец попросил Эрика дать вам 5 тенге, а Эрик сказал, что я ошибся. Является ли добровольное право и почему?
вышел и гулял 1 час. На обратном пути он ехал со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
25. Сколько раз за один день стрелки часов и минут становятся прямыми углами
в сарае будет нечетное количество лошадей?
получает конфету, которой нет. Выигрывает тот, кто получит его в конце. Кто победит в правильной игре?
имеет крышу. Правда ли, что крыша у всех общая?
половина, и половина того, что осталось в конце того, что осталось
заняла половину, поэтому в коробке осталось 10 яиц. Сколько всего
7. 4 черные и 3 желтые коровы дают за 5 дней столько молока, сколько 3 черные и 3 желтые коровы дают за 4 дня. Черная корова или желтая
много ли у коровы молока?
на сколько процентов увеличится?
Решение: на 32%9. Решите уравнение: 2(3-2x)=3x-4(1+3x);
Как получить
?
— это большое число, которое делится на 9?
Поскольку FAD равны (по двум сторонам и углу между ними), то стороны DE = EF = FD равны. Следовательно,
DEF – равносторонний треугольник.10
15. В классе 27 учеников. Каждый мальчик дружит с 4 девочками, а каждая девочка дружит с 5 мальчиками. Сколько мальчиков и девочек в классе?
Биссектриса ΔVSD и высоты CA, AC
Ответ: САВСД =
ВД*АС=75см217. Арман хотел удвоить размер своего квадратного дома, сохранив при этом ту же квадратную форму. В четырех углах его дома растут 4 дерева. Арман подумывал уйти из-за деревьев. Он не хотел строить новый этаж или новый дом где-то еще. Как он увеличил свой дом?
19. Книга пронумерована от первой до последней страницы. Озорной Самат вырывает из каждой части книги по 25 и складывает все цифры 50 страниц. Тогда сумма этих чисел будет равна 2002 году. Когда Канат узнает об этом, он говорит, что Самат ошибся в своих расчетах. Подумайте, почему Канат так сказал.
21. Двум друзьям вот так
при вычислении разности вторых степеней числа замечает, что она равна сумме оснований этого числа. Применяя свои выводы к другим числам 10 и 11, они приходят к выводу:
Это доказывается формулой
. Поместите символ модуля так, чтобы равенство было верным:
1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19
= 19,23. Марат лидировал в забеге на 1000 м, Ерлан стал вторым, Самат – третьим. За время забега Марат и Ерлан поменялись местами – 6 раз, Ерлан и Самат – 5 раз, Марат и Самат – 4 раза. В каком порядке спортсмены финишировали? Почему? Решение:
25. Угол А треугольника А ВС
и угол Б
На стороне A D E BAV проведем отрезок ВD=ВС и соединим его с точками D и C
ΔVSD ; ВД=ВС ДСВ=СДВ=80°
ΔАВС ; Пусть CE — биссектриса С=120°ACE=60°АЕС=80°
ΔDES ; E=D=80°, поэтому ASD=40°
ΔASD; CE=SD=AD=AB-VS=4 и CE= 4.
Алгебра с ответами на олимпийские задачи
Просмотр сжатия документа «Олимпийские задачи с ответами»
Районный этап Республиканской олимпиады школьников по математике, 18-19 декабря 2013-2014 гг.
8 класс I тур
ответ: Не все существа могут иметь один и тот же цвет одновременно 8-й класс II раунд
Равенство выполняется только тогда, когда x-4=0, y+3=0. Итак, х=4, у=-3.
Решение: вершине А и основанию D высоты AD соответствуют прямая, параллельная ЮЗ, проходящая через точку А, и линия, проходящая через точки С и В соответственно. Изменяем точку A с −∞ на +∞, считая, что точка D является центром BC как началом координат. Тогда угол А изменяется от 0 до 90 ̊ и от 90 ̊ до 0. Значит, угол А не может быть тупым.
Ответ: Угол А не может быть тупым
9 класс I тур
c1=3b7=a=b+3b7=7a=10b=a=10q, b=7q. (а,б)=1=q=1
В обоих случаях a-b=3.
3. На острове обитают 7 синих, 9 зеленых и 11 красных монстров. Когда встречаются два объекта разного цвета, они оба меняют цвет на третий. Возможно ли, что через какое-то время все явления окрасятся в один цвет?
Решение: 8. См. I.3.
9 класс 2 тур
Ответ: k4+64, (k — целое число) нельзя посчитать.
D=(a-(2+3))(a-(2-3))≥0 должно быть, из чего следует интервал 2-3≤a≤2+3. Если a, то максимальное и минимальное значения имеют положительный знак, если a2+3, то максимальное и минимальное значения имеют положительный знак. А если параметр а находится в найденном интервале, то максимальное и минимальное значения будут иметь разные знаки или одно из них будет равно нулю. Тогда x, y, нечетное или оба являются действительными числами.
10 класс 1 тур
Решение: поскольку расстояния a,a,2a не могут быть треугольником, то данные четыре точки должны быть вершинами прямоугольного треугольника и центром гипотенузы. Один катет этого треугольника равен половине гипотенузы, а второй катет b. Тогда
S=(R+1)24+(2+R-1)(R-1)4, где R — нечетное число, (R+1)24 — нечетное число, а (2+R- 1 )(R-1)4 — сумма простых n четных натуральных чисел. Обозначим R-1=t (четное число).
10 класс II тур
Тогда ∠BPC=1800-600=1200 ∠NPM+∠NAM=1200+600=1800 Тогда точки N,P,M,A лежат вдоль одной окружности. Если А К=КН, то КН=КМ=КА. То есть AN — это диаметр круга NPMA. Итак, ∠ APN = 90o, тогда ∠ APC = 90 ̊.
мы замечаем, что a+b+ab=a(b+1)+(b+1)-1=(a+1)(b+1)-1. Это полученное число снова подвергают той же операции с любым числом, и полученное число равно
11 класс I тур
2. Необходимо найти все (m,n) пары натуральных чисел, удовлетворяющие следующему условию: сумма первых m нечетных натуральных чисел на 212 больше суммы первых n четных натуральных чисел.
11 класс II тур
Способы решения некоторых олимпиадных задач по математике
средней школы №4
учитель математики.
Деревня Даулет — 2017 г.
Следующие свойства и основные понятия используются при решении задач, связанных с делимостью чисел.
Если a — целое число и b≠0 делится на целое число, то находится целое число c такое, что выполняется равенство a=bс.
Если число а делится (не делится) на число b, то запишите a b (а b).
Задачи на делимость чисел
Докажите, что квадрат числа, не кратного 3, и разности 1 делится на 3. Любое число, не кратное 3, можно записать в виде одного из двух выражений. a=3k+1, a=3k+2 Если a=3k+1, то a2-1= (3k+1)2 – 1= 9k2+6k+1-1= 9k2+6k= 3(3k2+2k) где 3 равно 3, то 3(3k2+2k) 3 Тогда квадрат числа, не кратного 3, и разности 1 делится на 3. При каких целочисленных значениях x(x2+2x)3 ? Решение: x=3k, 3k+1, 3k+2, поэтому, когда x=3k, x2+2x = (3k)2+ 2 3k = 9k2 +6k= 3(3k2 +6k) Когда 3x= 3k+1, x2 +2x = (3k+1)2+ 2 (3k+1) = 9k2 +6k+1+6k+2 =9k2 +12k +3 = 3(3k2 +4k+1) Когда 3x=3k+2, x2+ 2x = (3k+2)2+ 2 (3k+2) = 9k2 +12k+4+6k+4=(9k2 +18k+8) 3, потому что 8 3. Итак, когда x=3k, 3k+1 ( x2 +2x ) 3 Если a — нечетное число, докажите, что выражение a2-1 делится на 8 без остатка. Доказательство: a=2k+1,k є Za2-1= (2k+1)2-1= 4k2+4k+1-1= 4k2+4k= 4(k2+k) 4Если k четное число, (k2 +k) 2. Если k — нечетное число, то k2 — тоже нечетное число, а сумма двух нечетных чисел — четное число, т. е. делящееся на 2 без остатка. Тогда 4(k2+k) (4·2)=8 Докажите, что n(n+1) делится на 2 для любого целого числа n. Если n четное число, т.е. n= 2k, то n(n+1)= 2k (2k+1) 2. Если n нечетное, т.е. n= 2k+1, то n(n+1)= (2k+ 1 ) (2k+1+1)=(2k+1) (2k+2)=2(2k+1)(k+1) 2 Докажите, что разность x6 — y6 делится на 9 для чисел x и y, что не делятся на 3. По условию расчета может быть x=3k+1, 3k+2 и y=3r+1, 3r+2. Пусть x=3k+1, y=3r+1, тогда x6 – y6= (3k+1)6 – (3r+1)6 =((3k+1)3 – (3r+1)3)·( 3k +1)3 + (3р+1)3)= (27к3+27к2+9к+1-27р3-27р2-9р-1)·((3к+1)3 + (3р+1)3)= 9( 3к3 +3k2+k-3r3-3r2-kr) · ((3k+1)3 + (3r+1)3) 9 Докажите, что квадрат любого числа делится на 3 без остатка или что при делении на 3 существует является остатком 1. Докажите, что для любого целого значения х а) (х2+2) 3, б) (х2-1) ?для любого значения а, не кратного 3, разность а6-1 делится на 9 без остатка. Докажите, что для любого целого значения n число n2+n четное. Чему равен остаток при делении квадрата нечетного числа на 8? a=2k+1, a2=(2k+1)2=4k2+4k+1 a2=8q+r r=?4k2+4k+1 = 8q+ r 4k2+4k +1-r= 8q4k(k+1)+1-r= 8q 4k(k+1) 8, потому что 4 4 и k(k+1) 2 Итак (1- r) 8 и 0 ≤ rr=1Если m и n нечетные числа, докажите, что число m2 — n2 без остатка делится на 8. Докажите, что число a4+7(2a2+7) делится на 64 при нечетном значении a. Каким целым числом x является a) (a4+x(x+2a2)) 64, где a — нечетное число; b) (b4+x(x-2b2)) 64, где b — нечетное число? Любое n Докажите, что целое число n3 — n делится на 6. n3 — n= n(n2 -1)=( n-1) n (n+1) целое число: n= 3k , 3k+1, 3k+2n= 3k , то n3 – n= (3k -1) 3k (3k +1). Если k четное, то 3k равно 6. Если k нечетное, то 3k равно 3, (3k-1) 2, (3k+1) 2, поэтому (n3 – n) 6.n= 3k+1, пусть n3 – n= 3k (3k +1) (3k +2) Если k четное число, то 3k равно 6. Если k нечетное число, то 3k(3k+1) равно 6, поэтому (n3 – n) 6. пусть n= 3k+2, тогда n3 – n= (3k+1) (3k +2) (3k +3) Если k четное число, то (3k +2) (3k +3) 6 Если k – нечетное число, тогда (3k+3) равно 6, тогда (n3 – n) равно 6. Докажите, что n3+3n2+2n делится на 6 для любого целого значения n. Докажите, что любое целое значение a является целым числом. Докажите, что число n(n+1)(n+2)(n+3) делится на 24 для любого целого значения n. Если две последние цифры трехзначного числа одинаковы и сумма его цифр делится на 7, то докажите, что это же число делится и на 7. Пусть a+2b=7p, a=7p-2b, тогда 100a+11b= 100·(7p- 2b) +11b=700p-200b+11b=700p- 189b= 700p+7·27b= 7(100p+27b) 7Докажите, что трехзначное число с одинаковыми цифрами делится на 37 без остатка. Доказательство: 37, где 37 — двузначное число и двузначное число, перевернутое этими цифрами. Докажите, что сумма этих двух чисел делится на 11, а разница – на 9. Если количество уравнений и количество переменных равны, то уравнения решаются методом сложения или замены, который применяется в стандартном случае. Если число переменных больше количества уравнений, то такие уравнения называются диофантовыми уравнениями. В этом случае придется использовать другие методы. Один из основных методов — записать левую часть уравнения в виде произведения, а правую часть свести к простому числу. Решите уравнение x+x y+y=4. Решение: факторизуйте левую часть уравнения. x+xu+y=(1+y)(y+1)-1=(x+1)(y+1)-1 тогда (x+1)(y+1)-1=4 (x+1 )(y+1)=5 Если произведение двух чисел равно 5, то одно из них равно 5, а другое равно 1, или одно равно (-5), а другое равно (-1). Если статусы x и y в уравнении одинаковы, то эти переменные называются симметричными переменными. Если переменные симметричны, то и решения уравнения симметричны. Решите уравнение ху+2=х+у. 3. Решите уравнение xu=41(x+y).4. Найдите целые корни уравнения x3-y3=91. Коэффициенты 91: ±1; ±7; ±13; ±91у2+у-30=0 у1=-6, у2 =5х1=-5, х2 =-6 (-5;-6), (5;6) то уравнение в данном случае не имеет корней, тогда уравнение в этом случае нет корней, то уравнение не имеет корней в этом случае u2+7u+12=0 u1=-4, u2 =-3×1=3, x2 =4 (3;-4), (4;-3) )то уравнение в этом случае уравнение не имеет корней.тогда уравнение не имеет корней в этом случае уравнения.тогда уравнение не имеет корней уравнения и в этом случае. Ответ: (-5;-6), (5;6), (3;-4), (4;-3)5. Решите уравнение x+y+xu=61, где xє N, уе N.6. Решите уравнение х2-3ху+2у2=7 в множестве Z. 7. Решите уравнение x2+5u2+4xu+2u+1=0. Решение: Преобразуем уравнение: (х2+4у2+4ху)+(у2+2у+1)=0 ; (х+2у)2+(у+1)2=0;у+1=0; у=-1; х+2у=0; х=-2·(-1)=28. Решите уравнение x+2xu+y=83 в множестве Z. Решение: Умножьте обе части уравнения на 2. 2х+4х+2у=166; 2x(1+2y)+(1+2y)=166+1(2x+1)(2y+1)=167; Делители 167: ±1; ±167 Поскольку x и y являются симметричными переменными, решения также симметричны. Ответ: (0;83), (83;0), (-1;-84), (-84;-1)9. Решите уравнение ху+3х-5у=-3, где хє N, уе N.10. Решите уравнение x+y= 11. Решите уравнение: 5×2+5y2+8x+2x-2y+2=0 x+y=0; х+1=0; у-1 =0 х= -y; х=-1; у=1 15. ху-х+у=2006, где х≥0, у≥0, х, у є Z В основном используется при доказательстве неравенств: Если аб, bc, то acIf ab, cd, то acbdIf ab, k є N , то ak bkЕсли 0, то Если a1, то Если ab, c є R, то a+cb+c Если ab, c0 , то acbc Если ab, c, то ac Если ab, то Многие решения сложных и олимпийских задач в европейских книгах Неравенство Коши доказывается с помощью неравенства, основанного на соотношении среднего арифметического и среднего геометрического, называемого в русских книгах неравенством Коши-Буняковского. Теорема: Среднее арифметическое двух чисел не меньше их среднего геометрического, где a0, b0 Неравенство Коши применимо к более чем двум числам. , где a0, b0, c0 или , Докажите неравенство: где a≥0, b≥0 Доказательство: Приведем обе части неравенства к общему знаменателю и приведем правую часть из левой. Поскольку ≥0, ≥0, ≥ 0 решают неравенство a 4+b4≥ a3b+ab3. Докажите неравенство: (a+b)(b+c)(a+c)≥8abc, где a≥0, b≥0, c≥0 Доказательство: (a+b)(b+c)(a+c )- 8abc=a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+abc+abc-8abc= (a2b-2abc+ b2c)+( a2c-2abc+ bc2)+( ab2-2abc+ ac2)= Потому что a≥0, b≥ 0, c≥0, (a-c)2≥0, (a-b)2≥0, (b-c)2≥0 Докажите неравенство: ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c) ≥2(a3+ b3+ c3) a3+ b3+ c3+3abc≥ ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c), где a0, b0, c0 Доказательство: мы используем неравенство Коши. Сначала преобразуем левую часть неравенства: добавляем слагаемое +. Затем докажем истинность этого неравенства для a+b+c≥a≥0, b≥0. Докажите неравенство: Доказательство: Мы используем неравенство Коши. Докажите неравенство. Чтобы сравнить показатели степени, вам нужно привести основания к одному и тому же числу или показатели степени к одному и тому же числу. Сравните: 10002006 * 2006100 Решение: 1000200610002000=10002·1000=10000001000 20061000, затем 10002006 20061000 Решение: 515=5·514 =5·257 323 = 32 ·321= 9 · 277, а 257 равно 7, поэтому 51523 Решение: 311111 = (25)11=255 1714 1614 =(24)14 = 256 311155 56 14Тогда 3111 142619 * 821531208 * 218247926 * 244216275 * 239Если числители одинаковые, то у кого знаменатель больше, тот меньше; Если знаменатели то же самое, в зависимости от того, у кого комиссия больше, эта доля будет больше. Какое из этих чисел больше?Первая дробь больше, потому что вторая дробь больше. а) 2100 1030 б) 2100 3110020*985010 20112009 · 20092011*20102 · 20108011*2815
