КУРСОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 9 КЛАСС ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОЛИМПИАДАМ И ОГЭ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ГИА ПО АЛГЕБРЕ 8 Й УЧЕБНЫЙ ГОД

Готовиться к ЕГЭ сложно. Но задачу упрощает огромное количество удобных интернет-сервисов. Наш блогер Ирина Каменкина сделала подборку из 24 полезных сайтов, которые помогут и выпускникам, и учителям.

ФИПИ

Самый важный сайт для всех, кто готовится к ЕГЭ. Здесь публикуется официальная информация об экзамене и все важные изменения: сроки экзаменов, демоверсии, открытый банк заданий, критерии оценки работ и др.

«Решу ЕГЭ»

На сайте вы найдете тренировочные варианты и задания посложнее с развернутым ответом.

Сайт Ларина

Ресурс оказывает информационную поддержку при подготовке к ЕГЭ по математике. Из полезных материалов — генератор вариантов ЕГЭ, архив материалов для подготовки к экзамену, примеры решения задач и тренировочные варианты, а также ответы на вопросы в форуме.

«Мат100»

В разделе ЕГЭ представлены варианты реальных и пробных заданий экзамена прошлых лет и тренировочные варианты с видеоразборами. Сайт ведёт репетитор по математике с 20-летним стажем. Здесь же есть ссылка на ютуб-канал с разбором некоторых задач из ЕГЭ.

Онлайн-курсы

В онлайн-курсах Анны Малковой можно найти множество интересных заданий для подготовки к ЕГЭ от простых для самых сложных. Анна занимается репетиторством с 90-х, но отлично знакома со всеми изменениями в экзаменах. Много полезной информации для учителей и репетиторов.

Проект «Распечатай и реши»

На сайте много методических материалов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. Авторские статьи не требуют предварительных знаний и способствуют глубокому изучению каждой темы с нуля.

«Парта»

Тренажер по математике с чат-ботом. Новый формат занятий с поддержкой чат-бота для самостоятельной подготовки к ЕГЭ. Могут заниматься и учителя, и сами дети. Сайт удобный, всё интуитивно понятно, но надо регистрироваться.

Ягубов

Ещё один сайт репетитора, здесь есть варианты заданий СтатГрад, МЦКО и видеоразборы. Сайт сделан не очень удобно, но полезной информации много.

«Олимпиада математика»

Олимпиадные задания по математике разных уровней сложности. Пригодится не только олимпиадникам, но тем, кто готовится к экзаменам — чтобы проверить, как ученик решает более сложные задачи.

«4ЕГЭ»

На сайте рассказывают о значимых новостях про ЕГЭ, а ещё публикуют задания с решениями в удобном формате для работы и скачивания. Задачи распределены по темам, что очень удобно.

«ЕГЭпроф»

Структурированная база математических задач с решениями, удобная фильтрация и система поиска для отбора условий задач.

УouTube-канал GetAClass

Короткие и интересные видео с разборами задач по математике из школьной программы. Поможет не только выпускникам, но и школьникам помладше быстро разобраться в сложных темах.

«ЕГЭок»

Не самый удобный, но полезный сайт со справочными материалами, видеокурсами и презентациями для подготовки к ЕГЭ. Есть тренажер, который подкидывает случайные задания — удобно, когда надо проверить себя.

«Математика легко»

На сайте можно найти много полезной информации при подготовке к экзамену: авторская книга с хитрыми задачами по математике, теория и практика с объяснениями, рекомендации и др.

«ЕГЭ-тренер»

Лекции и уроки по подготовке к ЕГЭ Ольги Себедаш, авторская методика, онлайн-курсы для учителей «ЕГЭ-тренер».

Тренажеры от Стародубцевой

Тренажеры от Елены Стародубцевой для освоения школьного курса математики и подготовки к экзаменам.

«Яндекс. репетитор»

Яндекс.репетитор с тренировочными вариантами, возможность составления персональной подборки заданий. Тесты, лекции, задачи и домашние задания для подготовки.

«Школково»

Уникальный банк задач для подготовки к ЕГЭ. Авторские методики обучения, бесплатные вебинары и конструктор заданий.

Подготовка к ЕГЭ

Большой список задач по математике, распределенных по темам, есть полезные ссылки и пособия, много тренировочных вариантов с ответами. Можно пройти экзамен онлайн и получить примерный результат.

Функции

Построение графиков функций онлайн.

Ресурсы с электронными библиотеками

Список ресурсов был собран при помощи учителей и репетиторов сообщества sBoard.online.

Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.

Иллюстрация: Shutterstock / FOTOSPLASH

В задачах на работу — похожую формулу

Составляем уравнение. Иногда оно линейное, иногда — дробно-рациональное. И решаем его.

То есть вообще не решая уравнение! Да, такое бывает.

1. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

Сначала решим эту задачу обычным способом.

Начинаем с таблицы. Пусть x — скорость баржи на пути из А в В. Расстояние между А и В равно 234 километра. Из формулы

легко выразить время:

На обратном пути скорость на 4 км/ч больше, расстояние то же. Время, затраченное на путь из В в А, равно

Сразу поясним: здесь речь идет о времени, когда баржа находилась в движении. В условии задачи говорится, что на обратный путь баржа затратила столько же времени, сколько на путь из А в Б. При этом 8 часов баржа стояла, а время, которое она плыла, равно

Запишем, что время, затраченное на путь из А в Б и на обратный путь — одинаково.

Соберем слагаемые, содержащие х, в левой части уравнения.

Сократим обе части уравнения на 2.

А теперь быстрый способ решения.

Посмотрим еще раз на наше уравнение:

Мы видим, что разность двух делителей числа 117 равна четырем. Подберем целый корень уравнения:

Часто в задачах ЕГЭ на движение и работу ответами являются целые числа, и их легко подобрать.

Решим еще несколько задач быстрым способом. Он поможет вам сэкономить время на ЕГЭ. Но конечно, никто не мешает вам решать как обычно, сводя уравнение к квадратному.

2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

Составим таблицу. Скорость велосипедиста на пути из В в А, которую надо найти, обозначим x. Тогда скорость на пути из А в В равна

Сократим обе части уравнения на 8.

Разность двух делителей числа 16 равна единице. Если

3. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Как всегда, начинаем с таблицы. Пусть x — скорость первого теплохода,

— скорость второго.

Составим уравнение, учитывая, что второй теплоход был в пути на 4 часа меньше, чем первый.

Разность двух делителей числа 48 равна 1. Например,

то уравнение обращается в истинное равенство. Подобрали ответ!

А теперь задача ЕГЭ на работу.

4. На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

Как извлечь квадратный корень из четырёхзначного числа?

Значит, в квадрат возвели двухзначное число; первая цифра которого 7.

Число 5329 оканчивается на 9. Значит, в квадрат возводили число, оканчивающееся на 3 или на 7.

Второй способ. Обойдемся без решения квадратного уравнения!

На какие натуральные числа делится число 575?

Какой способ лучше — «традиционный» или вот этот, быстрый? Хорошо, если вы владеете обоими. Быстрый способ с подбором ответа — это не только экономия времени на ЕГЭ, но и подготовка к решению задач на числа и их свойства (задание Профильного ЕГЭ №18).

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задачи ЕГЭ по математике на движение и работу. Секреты решения» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
05.09.2023

Автор  Соловьева Г. Д.

Чтобы успешно сдать ОГЭ по математике, нужно знать весь курс школьной программы по алгебре и геометрии, основные правила и теоремы. И даже этого недостаточно. Нужно уметь решать задания, как по алгебре, так и по геометрии. И если вы готовитесь к ОГЭ по математике с нуля, мы поступим таким образом.

Чтобы сдать экзамен по математике на «3», нужно получить 8 баллов, то есть решить из первой части 5 заданий по алгебре и 3 задания по геометрии. Без геометрии не обойдемся! Выбираем самые легкие задания из КИМов и учимся их решать.

Примеры задания №1.

1. Найдите значение выражения:

Решаем по действиям.

1) Вычисляем знаменатель 6,6 — 2,4 = 4,2.

Вычитать можно в столбик.

Помним о правиле «запятая под запятой».

2) Выполняем деление 2,1 : 4,2. Прежде всего, переносим запятые в каждом из этих чисел на одну цифру вправо. Это значит, что мы оба числа – и 2,1 и 4,2 – увеличили в 10 раз.

2,1 : 4,2 = 21 : 42 = 0,5.

2. Вычислите самостоятельно:

1) Находим сумму двух дробей.

Наименьший общий знаменатель дробей

равен 60, потому что наименьшее число, которое делится и на 30, и на 20 – это число 60.

К первой дроби дополнительный множитель 2,  потому что 60 : 30 = 2.

Ко второй дроби дополнительный множитель  3, потому что 60 : 20 = 3.

4. Вычислите самостоятельно

Примеры задания №2.

5. В таблице приведены нормативы по прыжкам с места для учащихся 11 класса.

Какую отметку получит девочка, прыгнувшая на 167 см?

Смотрим на таблицу и замечаем, что за 167 см девочка получит отметку «3».

Ведь 167 < 170, а для того чтобы получить «4», надо прыгнуть не меньше чем на 170 сантиметров.

6. В таблице приведены расстояния от Солнца до четырех планет Солнечной системы. Какая из этих планет дальше других от Солнца?

1. Марс; 2)Меркурий;  3)Нептун;   4)Сатурн.

Примеры задания №3

7. На координатной прямой точки А, В, С, D соответствуют числам 0,0137; 0,103; 0,03; 0,021. Какой точке соответствует число 0,03?

1) А;  2) В;  3) С;  4) D.

Для ответа на этот вопрос расположим данные числа в порядке возрастания. Для десятичных дробей это легко.

0,0137 < 0,021 < 0,03 < 0,103

Числу 0,03 соответствует точка С.

8. На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D. Одна из них соответствует числу . Какая это точка?

1)  А;  2) В;   3) С; 4) D.

Примеры задания №5.

9. На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По вертикали – значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику наибольшую температуру воздуха 7 августа. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Смотрим на график и определяем, что наибольшая температура 7 августа составила 30°.

10. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси – напряжение в вольтах. Определите по графику, за сколько часов работы фонарика напряжение упадет с 1,6 до 1,2 В.

Примеры задания №8

11. На диаграмме показано количество учащихся параллелей 5-9 классов в некоторой школе. На сколько больше в этой школе пятиклассников, чем девятиклассников?

12. На диаграмме показано возрастной состав выпускников некоторого колледжа. Определите с помощью диаграммы, сколько в этом колледже выпускников, которым исполнилось 17 лет.

Переходим к модулю «Геометрия».

Примеры задания №15

13. Колесо имеет 45 спиц. Углы между соседними спицами одинаковы. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

Решение. Вся окружность составляет 360° .

360° : 45 = 8°.

14. Какой угол описывает минутная стрелка за 24 минуты?

Примеры задания №18

15. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Формула площади треугольника есть в справочном материале.

, где а – сторона треугольника, h – его высота.

16. Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Формула площади трапеции есть в справочном материале:

Подставьте данные и вычислите.

Примеры задания №19.

17. На клетчатой бумаге размером клетки 1×1 изображена фигура. Найти ее площадь.

Считаем клетки. Площадь равна 9.

18. На клетчатой бумаге размером клетки 1×1 нарисован равнобедренный треугольник АВС. Найти его высоту, проведенную к основанию.

Как видите, ничего сложного.

Если вы готовитесь к ОГЭ по математике с нуля, рекомендуем вам начать с заданий 1, 2, 3, 5, 8 из модуля «Алгебра» и заданий 15, 18, 19 из модуля «Геометрия».

Когда эти задания получаются у вас хорошо, можно переходить и к другим задачам ОГЭ по математике.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Подготовка с нуля к ОГЭ по Математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

IT, физика, робототехника становятся популярнее с каждым годом. Но чаще всего, чтобы поступить на эти направления, надо сдавать профильную математику. Как к этому экзамену готовиться и почему не стоит рассчитывать на высокие баллы, рассказала преподаватель математики и подготовительных курсов ИТМО, эксперт ЕГЭ Марина Лукина.

Профильная математика, в отличие от базовой, — это способ отбора абитуриентов в вузы. И здесь нужна специальная подготовка. Как правило, школьник, у которого четверки и пятерки по математике, хорошо справляется с базовым ЕГЭ, однако по профильному экзамену набирает не больше 50–60 баллов. Даже выпускникам физико-математических лицеев нужна тщательная подготовка, чтобы набрать высокие баллы. В прошлом году средний балл был всего 57, и он мало отличается от предыдущих лет. В России по профильной математике 80+ набирает только 8% от всех сдающих, а 100 баллов получили всего лишь около 600 человек (из 300 тысяч!).

С чего же начинать подготовку? Для начала надо поставить цель — на какой балл рассчитывает будущий абитуриент? Ответ «на самый большой», в общем-то, логичен, но совсем не конкретен, поэтому нужно определить уровень школьника прямо сейчас. Ищите в интернете пробники (на сайте Решу ЕГЭ, или можно посмотреть демоверсии на сайте ФИПИ) и старайтесь прорешивать их в условиях, близких к экзаменационным: тайминг, никакого калькулятора и подручных средств.

Если одиннадцатиклассник наберет около 40 баллов, не стоит ставить планку на 80: за год шансов подготовиться мало. Да, исключения бывают везде, но это статистические единицы. Это не значит, что нужно готовить себя к заведомо низкому результату. Если 40 баллов набрал десятиклассник, шансы на подготовку к хорошим результатам увеличиваются. Но нужно быть готовым приложить немало усилий. В целом выпускник обычной школы при должной подготовке может набрать 70+ баллов. Поэтому:

Теперь о главном — что делать дальше, когда вы определились, над чем работать и как долго? Выпускники должны начать «уже вчера»! Подготовиться за 2–3 месяца будет очень сложно, почти нереально. Недостаточно просто безостановочно прорешивать все варианты в интернете — надо разбираться в методах и подходах к решению. Каждый год на ЕГЭ появляются новые типы задач. За все годы, сколько я проверяю ЕГЭ, старшеклассники сталкиваются с изменениями. Какая-то новая изюминка или важная деталь обязательно появится (пусть и в рамках учебного курса). Что можно посоветовать:

Тщательно готовьтесь к первой части

Первая часть — тестовая. В нее входит 11 заданий из базовой школьной программы. Для их решения нужно как следует набить руку. Если при проверке засчитают все задания, можно набрать 64 балла — это очень много! Именно первая часть определяет итоговый балл выпускника, поэтому ей стоит уделить особое внимание. Часто в этих заданиях делают досадные арифметические ошибки, из-за этого теряются баллы, которые потом трудно наверстать.

Без второй части не будет высоких баллов

С нуля наиболее реально подготовиться к трем двухбалльным задачам из второй части — экономической, уравнениям и неравенствам. Если безошибочно выполнить первую часть и эти три задачи, можно заработать 76 баллов. Но помните, что арифметическая ошибка или описка во второй части — это минус балл. Можно написать решение с правильным ответом, но из-за ошибок в самом решении вам поставят ноль. Будьте внимательны!

Дальше — две трехбалльные задачи на геометрию. К сожалению, она сейчас очень тяжело дается большинству школьников. В геометрии нет четких алгоритмов, как в алгебре, — здесь, помимо знания теорем и формул, понадобится воображение и творчество. Чтобы не пасовать перед геометрическими задачами, нужно постоянно к ним готовиться. Умение решать такие задачи — это навык, который быстро уходит. Плюс нужно знать множество теорем, чтобы уметь ими пользоваться.

Последние четырехбалльные задачи из второй части близки к олимпиадному уровню. Старшеклассники приходят на курсы и спрашивают: «А вы научите нас решать задачи с параметрами?» По-хорошему, их надо учиться решать еще в восьмом классе, чтобы уверенно взяться за них на ЕГЭ. Даже выпускники физико-математических лицеев, как правило, решают эти задачи на 3–2 балла. Ученик обычной школы, скорее всего, просто потратит на это силы и время без перспективы заработать какие-то баллы.

Готовьтесь тематически

Первую половину года нужно отрабатывать задачи в рамках одной темы по порядку: преобразования, уравнения, текстовые задачи и так далее. А вторую уже посвятить решению вариантов, чтобы научиться переключаться с темы на тему. Надо себя «запрограммировать» на качественное изучение конкретных тем. Возвращаясь к какой-то теме, вы отнимаете у себя время на качественную подготовку к другой, в итоге вся логика работы нарушается.

Забудьте про калькулятор

ЕГЭ на 50% — это счет. Старшеклассники, которые плохо считают или считают с калькулятором, спотыкаются именно на этом. На время подготовки к ЕГЭ калькулятора не существует — все решайте на листочке в столбик. Не думайте: «Сейчас я буду решать на калькуляторе, а на экзамене сяду и напишу» — это иллюзия.

Надо учить формулы

И старшеклассники этого, увы, не делают. А ведь формулы нужно не просто выучить — они должны «лежать в подкорке», чтобы можно было оперативно их применять, а главное, понять, в каких случаях это нужно делать.

Записывайте решение грамотно

Не существует каких-то жёстких требований к оформлению работ, просто все должно быть грамотно написано и логически выстроено. Если в процессе чтения эксперт понимает логику решения, то все в порядке. Но не стоит давать лишних очевидных пояснений (все же эксперт разбирается в предмете не хуже вас). К тому же чем больше лишнего, тем больше вероятность допустить ошибку. Потренируйтесь записывать решения, чтобы на экзамене у вас уже был готовый алгоритм.

Следите за временем

Рекомендую взять доступный вариант профильного ЕГЭ, поставить часы и фиксировать время, которое уходит на те или иные задачи. Так появится понимание, как организовать работу. До ЕГЭ кажется, что четыре часа на экзамен по математике — это много. На самом деле нет: вам еще надо будет проверить и переписать работу на бланки, да и на экзамене практически все начинают волноваться и думать дольше, чем в обычной жизни.

Кроме всего вышеперечисленного, есть еще одна особенность, о которой многие забывают. Работу проверяет конкретный человек, это всегда индивидуальный подход и человеческий фактор. Если проверяющий открывает работу, в которой все написано аккуратно и четко, у эксперта сразу формируется определенное отношение к абитуриенту. А если в работе половину слов невозможно прочитать, эксперт может не понять ваше решение: он не обязан «расшифровывать» записи.

Постарайтесь объективно оценить свои возможности и поставить реальную цель. Ведь у кого-то есть прилежание, у кого-то — способности, а у кого-то — талант. Мой преподаватель в вузе говорил так: «Решать сложные задачи — это как писать стихи: кому-то дано, а кому-то нет». Разумеется, можно освоить базовые алгоритмы и подходы, выучить теоремы и формулы, но вырастить «математического Пушкина» с нуля за полгода вряд ли получится. Если абитуриент действительно любит, знает и понимает математику, то при должной подготовке можно решать и самые сложные задачи. Но нужно быть аккуратными в прогнозах, иначе в погоне за наивысшим результатом есть риск многое потерять.

Помните, подготовка к ЕГЭ — это работа сложная и кропотливая, не всегда простая, требующая самодисциплины, усилий и системы. Только большой запас прочности даст уверенность на экзамене и приведет к желаемому результату. Не забывайте про отдых, делайте перерывы — давайте мозгу возможность переработать информацию. Верьте в себя, и вы справитесь!

Иллюстрации: Alphavector, xnova / Shutterstock / Fotodom

Задания для самостоятельной работы по теме Последовательности, Прогрессии

Последовательность задана формулой . Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с

Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.

Последовательность задана формулой . Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

. Дана арифметическая прогрессия:  Найдите сумму первых десяти её членов.

Определим разность арифметической прогрессии:

-ых членов может быть найдена по формуле

Дана арифметическая прогрессия   Найдите сумму первых десяти её членов.

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

Варианты  ответа : 1)18    2)15   3)14    4)16

.  В арифметической прогрессии    . Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Найдите седьмой член арифметической прогрессии, у которой первый член равен 12, а разность равна -5.

) – арифметическая прогрессия, а=-304, d=-6. Найдите

Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, у которой х

. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии ( = –15 и

Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (), заданной формулой

В геометрической прогрессии    Найти пятый член этой прогрессии.

В силу формулы

Дана геометрическая прогрессия (), знаменатель которой равен 2,  = −247. Найдите

Дана геометрическая прогрессия (), знаменатель которой равен 2, а   Найдите сумму первых шести её членов.

первых членов геометрической прогрессии даётся формулой

Найдите седьмой член геометрической прогрессии ( = –32 и

. Первый член геометрической прогрессии () равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

. Найти 5-й член геометрической последовательности, если b=4, q = -3.

Найти сумму  первых шести членов геометрической прогрессии, если  b=9, q = 1/3.

Найдите шестой  член геометрической прогрессии, если b=1/9, q = 3.

Найти сумму  первых четырех членов геометрической прогрессии, если  b=14, q = — 2.

Первый член геометрической прогрессии 24, второй 36. Найти знаменатель

Задания для самостоятельной работы по теме Вписанные и центральные углы

опирается на хорду  длиной 6. При этом угол  равен 60°. Найдите радиус окружности

: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть  + 60° + 60° = 180°, где  = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

, равный 60°, опирается на хорду  длиной 3. Найдите радиус окружности.

опирается на хорду  так, что угол  равен 60° . Найдите длину хорды , если радиус окружности равен 8.

В окружности с центром в точке  равен 30°. Найдите величину угла

опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол

В окружности с центром в точке  равен 25°. Найдите величину угла

, если градусные меры дуг  равны 150° и 68° соответственно.

, не содержащая точку , равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому

, если градусные меры дуг    равны 112° и 170° соответственно.

В окружности с центром  — диаметры. Угол  равен 26°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

В окружности с центром  — диаметры. Центральный угол  равен 112°. Найдите вписанный угол  . Ответ дайте в градусах.

В окружности с центром   — диаметры. Центральный угол  равен 130°. Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.

вписан в окружность с центром в точке . Найдите градусную меру угла , если угол

является центральным углом,  — вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол  в два раза больше угла . Тем самым, он равен 24°.

вписан в окружность с центром в точке  лежат в одной полуплоскости относительно прямой , если угол  равен 153°. Ответ дайте в градусах

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Найдите угол , если угол равен 30°. Ответ дайте в градусах.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол  равен 90°. Таким образом:

— диаметры окружности с центром  равен 36°. Найдите угол .   дайте в градусах.

— диаметры окружности с центром  равен 23°. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Задания для самостоятельной работы по теме Решение задач на вероятность

На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Сергей выучил 25 − 3 = 22 вопроса. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна  (В числителе дроби-благоприятные исходы, в знаменателе дроби- все исходы)

На экзамене 50 билетов, Руслан не выучил 5 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.

В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

В фирме такси в данный момент свободна 21 машина: 11 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. Полученный ответ округлите до сотых.

В фирме такси в данный момент свободно 12 машин: 3 черных, 3 желтых и 6 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.

Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.

Ваня с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 3 — синие, 24 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Ваня прокатится в красной кабинке.

У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 15 с машинами и 10 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Толе достанется пазл с машиной.

В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?

В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить вещевой выигрыш?

Из 900 новых флеш-карт в среднем 54 не пригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранная флеш-карта пригодна для записи?

В коробке 14 пакетиков с чёрным чаем и 6 пакетиков с зелёным чаем. Павел наугад вынимает один пакетик. Какова вероятность того, что это пакетик с зелёным чаем?

Стас, Денис, Костя, Маша, Дима бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.

. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России.

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

. Из каждых 1000 электрических лампочек 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Из 1600 пакетов молока в среднем 80 протекают. Какова вероятность того, что случайно выбранный пакет молока

Примерно через неделю ФИПИ опубликует демонстрационные варианты (образцы) заданий ЕГЭ 2022 года. В этот день будет дан старт долгому марафону по подготовке к экзаменам. Наш постоянный ЕГЭ-блогер Михаил Ланцман заранее даёт 10 советов и лайфхаков сдающим математику.

Экзамен по математике разделён на базовый и профильный с 2015 года. В 2021-м профильная математика стала экзаменом по выбору. Несмотря на то, что в 2021-м году ЕГЭ можно было вообще не сдавать (ГВЭ можно было сдать вместо ЕГЭ при условии, что ты не поступаешь в вуз), а математика перестала быть обязательным экзаменом, профиль сдавало рекордное количество выпускников — 393 тыс. человек. Это говорит о престиже технических вузов и желании большинства абитуриентов поступить на профильные негуманитарные специальности и направления подготовки.

Средний балл профильного ЕГЭ по математике нельзя назвать высоким. В 2019 году — 56,5 баллов; в 2020 — 54,2; в 2021 — 55,1. Стобалльников тоже не так много: 2019 год — 749 человек, в 2020 — нет статистики, 2021 — 504 человека.

На высокие баллы (80+) в 2021 году экзамен сдали 31 тыс. человек. Получается, самые высокие баллы получает ежегодно примерно 8% от общего числа участников. Примерно столько же (7-8%) ежегодно не преодолевает минимальный порог баллов. Топовые вузы, как вы знаете, берут на бюджетные места только высокобалльников. Получается, что примерно 85% сдающих профильный экзамен по математике не могут претендовать на бюджет лучших технических вузов — у них банально не хватает баллов.

Спрос высок, а процент высокобалльников крайне низок. Отсюда простой и закономерный вывод: хочешь поступить в топовый технический вуз — готовься как следует.

Чем раньше, тем лучше

Выпускникам 2022 и 2023 годов выпуска советую начинать готовиться как можно раньше, поскольку с 2022 года ЕГЭ по профильной математике будут сдавать по принципиально новым вариантам КИМов. Ф ИПИ опубликовал перспективные модели совершенно новых заданий. Конечно, какие-то старые вопросы остались, но появились и незнакомые практико-ориентированные задания, которых в ЕГЭ раньше не было.

Осложнит подготовку то, что ни в открытом банке ФИПИ, ни на известных ресурсах РешуЕГЭ и «Незнайка» тренировочные варианты пока никто не разместил. Первое время, пока будут происходить обновления на интернет-ресурсах, мы можем готовиться к ЕГЭ по новым заданиям, используя только одну единственную демоверсию. Выпускникам 2023 года, которые в сентябре пойдут в 10 класс, тоже лучше не терять время и начать готовиться заранее.

Разобрать все обновлённые задания и начать активную подготовку к ЕГЭ можно на Курсах Lancman School. Мы работаем очно в Москве, филиалы есть на каждой ветке метро. Жителей регионов ждём на онлайн-курсах.

Контроль за динамикой прироста ваших баллов, домашние задания, отчёты перед родителями, регулярные пробные тестирования, профориентация и консультирование по поступлению — всё это также входит в комплекс наших услуг.

Что разработчики ФИПИ предлагают поменять в КИМ ЕГЭ по профильной математике? В опубликованной перспективной модели 2022 года мы видим принципиально новые форматы заданий: № 10 (из блока «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей») и № 11 (задание на комплексные числа). Кое-какие несложные задания в проекте вообще убрали, какие-то видоизменили. За задание № 15 теперь можно получить не 2, а 3 балла. Максимальное количество первичных баллов в связи с этим увеличилось до 33.

Кстати, задания по профильной математике не меняли так кардинально уже 6 лет. Этот экзамен для ФИПИ так долго был неприкасаемым, поскольку он и так был сложным в плане получения высоких баллов.

Прорешивать тесты — не всегда эффективно

Опытные репетиторы всегда советуют ученикам, которые хотят получить за ЕГЭ по профильной математике высокие баллы, определить, какие задания для них являются сложными, а какие простыми. Важно сосредоточиться именно на сложных заданиях. Отработку простых при этом тоже нельзя пускать на самотёк. Время от времени возвращайтесь к ним и следите за динамикой своих успехов. Для качественной подготовки используйте демоверсии ФИПИ, сайты РешуЕГЭ, ресурс Алекса Ларина, а также YouTube-каналы.

Учите формулы и теоремы

Выучить сразу все формулы и теоремы нереально. Поэтому разместите их рядом с рабочим местом дома и учите постепенно. Помните, что на реальном экзамене одна выученная теорема может сэкономить вам примерно 10-20 минут. В стрессовой ситуации примерно столько времени нужно, чтобы вспомнить то, что не было заучено на этапе подготовки.

Определите «потолок» баллов и просчитайте «свои» задания

У ЕГЭ по профильной математике есть своя специфика и свои уникальные лайфхаки. Низкий средний балл, который мы наблюдаем каждый год, связан с высочайшей сложностью заданий с развёрнутыми ответами. На этапе подготовки подсчитайте, какие баллы ЕГЭ вы ожидаете увидеть в личном кабинете после экзамена. Потом просчитайте, какие правильно решённые задания помогут вам набрать именно такое количество баллов. Вы же любите математику? Значит, сможете это сделать. Не стремитесь решить весь вариант (хотя постараться стоит). Создайте уникальный алгоритм достижения желаемого результата, выписав те номера заданий, которые в сумме приведут вас к ожидаемым баллам.

Тайминг — ваше тайное оружие

Каждый второй высокобалльник после реального ЕГЭ по профильной математике жалуется, что ему не хватило времени. Если вы последуете совету № 4, обязательно засеките, сколько времени вам надо на выполнение всех заданий, которые вы будете точно решать на ЕГЭ для получения определённого количества баллов. Когда вы уже будете прилично подготовлены, обязательно займитесь работой с таймингом. Учитесь укладываться в отведённые временные рамки.

Пишите пробники

Шестой пункт вытекает из пятого. Проходите пробники как можно чаще. Обязательно фиксируйте не только количество набранных баллов, но и типичные ошибки. Пробные экзамены старайтесь проходить в реальных боевых условиях: время пробника не должно превышать прописанного в демоверсии, попробуйте решать всё без калькулятора, ни в коем случае не пользуйтесь подсказками и шпаргалками.

Если в вашей школе редко проводят пробные ЕГЭ, обратитесь к репетитору или на курсы подготовки к ЕГЭ с просьбой протестировать вас. Только обязательно заранее обговорите, чтобы после пробника вам предоставили максимально подробный отчёт о том, как вы выполнили задания с развёрнутыми ответами. Без обратной связи эффективность пробных ЕГЭ крайне низка.

Избегайте ошибок по невнимательности

Не хочется пугать вас страшными историями о том, как ежегодно школьники теряют баллы из-за невнимательности или небрежности в вычислениях. Но на ЕГЭ по математике таких печальных историй всегда больше, чем на экзаменах по другим предметам. Это ещё одна специфика ЕГЭ по профильной математике: мало правильно ответить, надо ещё все правильно оформить. Недостаточно всё решить, надо ещё и убедиться, что вы не допустили никаких ошибок в вычислениях и не вписали в бланк неправильный ответ. Советую читать условия и проверять свои записи как минимум два раза. Если заметите, что у вас при подготовке были ошибки именно по глупости, запомните их, чтобы не наступить на эти грабли на реальном экзамене.

К тяжелым заданиям делайте несколько подходов

В первую очередь это касается заданий на геометрию. Не получилось решить сегодня — попробуйте вернуться к задаче завтра или послезавтра. Топовые задачи подвластны только тем, кто прокачал заранее этот уникальный навык — умение нащупывать правильные идеи решения, казалось бы, нерешаемой задачи. Тем более в новой демоверсии таких задач будет ещё больше, чем раньше.

Участвуйте в олимпиадах

Если вы не просто любите математику, но и кайфуете от осознания того, что можете решать нетривиальные сложные задачи, обязательно попробуйте свои силы на различных олимпиадах. Льготы при поступлении дают победа или призёрство во Всероссийской олимпиаде школьников, а также вузовских олимпиадах Перечня. Обо всех олимпиадах 2021–2022 гг. обязательно буду рассказывать подробно в других статьях.

Практика поступления в университеты 2020 и 2021 годов наглядно показала, что в топовых вузах иногда недостаточно иметь 100 баллов на ЕГЭ, чтобы получить бюджетное место. Бывало, что все без исключения заветные бесплатные места доставались олимпиадникам. Эти выпускники зачисляются в вузы в первую очередь.

Верьте в себя, хорошо готовьтесь, и вы обязательно станете победителем или призёром! Но и про подготовку к ЕГЭ не забывайте: высокие баллы на ЕГЭ по профильной математике понадобятся вам для подтверждения статуса абитуриента льготной категории. Имейте в виду, что в 2021 году, например, победители и призёры олимпиад Перечня должны были получить на ЕГЭ по профильному предмету не менее 75 баллов. Некоторые вузы поднимают эту планку ещё выше — до 85 баллов.

Десятиклассники, вас это тоже касается

Начинайте готовиться к ЕГЭ по профильной математике сейчас. Обновлённые задания абсолютно по всем предметам, долгий дистант, бешеный рост конкурса на бюджетные места в топовых вузах — всё это говорит о том, что выдержать конкуренцию смогут только самые подготовленные и мудрые абитуриенты. Те, кто подстелил соломку заранее.

Еще раз приглашаю на наши очные курсы ЕГЭ Lancman School в Москве и онлайн-курсы в любом регионе страны.